7 mai 2025, Campus St. Charles, Marseille
Salle de séminaire de l’I2M, Bâtiment 7, 1er étage
La notion d’espace en mathématiques
L’espace est un des sujets de réflexion les plus anciens et les plus présents dans l’histoire de la philosophie, en particulier lorsqu’elle s’intéresse au monde physique. En mathématiques cependant, le mot et la notion même semblent absents, du moins jusqu’à une époque très récente, où apparaissent de très nombreux objets portant le nom d’espace : espaces vectoriel, topologique, mesuré ou de Banach etc. De manière assez curieuse, les définitions même de ces objets semblent relever de tout sauf d’une spatialité au sens empirique du terme : on y fait appel à l’algèbre, à la théorie des ensembles on encore à l’analyse. En outre, le mot est maintenant employé dans des domaines comme la logique ou l’arithmétique où son irruption peut paraitre, de prime abord, un peu surprenante.
Point de départ d’un constat que peuvent faire tous les étudiants qui sont un tant soit peu confrontés aux mathématiques dans leur cursus, l’interrogation sur l’usage en mathématiques de mots relevant du champ de la spatialité permet d’aborder les liens profonds qui unissent les questionnements et pratiques propres à cette discipline aux questions qui peuvent se poser par ailleurs en termes philosophiques, physiques, métaphysiques, voire de logique, de linguistique ou de sciences cognitives. Aborder quelques points précis autour de la question de l’espace en mathématiques nous semble ouvrir d’intéressantes perspectives. Il est escompté que le public des conférences soit constitué autant d’enseignants ou chercheurs que d’étudiants en master ou en thèse qui trouveront là matière à réflexion sur leur discipline.
Conférenciers invités : Francesca Biagioli, Jean-Yves Briend, Olivia Caramello, Frédéric Jaeck.
Comité d’organisation : Jean-Yves Briend et Paola Cantù
Partenaires : ANR-23-CE54-0012 « Axiomatic Definitions », Laboratoire I2M, Centre Gilles Gaston Granger, CNRS et Aix-Marseille-Université
Inscription gratuite mais obligatoire en remplissant le formulaire disponible ici. La journée sur l’espace sera également diffusée à distance. Une diffusion en ligne est prévue. Si vous souhaitez assister à distance, veuillez le préciser dans le formulaire.
Programme
Mercredi 7 mai 2025
9h00 Accueil
9h15-10h30 Olivia Caramello, La ‘notion unificatrice’ de topos
11h00-12h15 Francesca Biagioli, The Conceivability of Non-Euclidean Spaces in Nineteenth-Century Geometry
14h00-15h15 Fréderic Jaëck, Espaces et structures : pourquoi, comment et autres questions philosophiques.
15h45-17h00 Jean-Yves Briend, Desargues et le Brouillon-Project sur les coniques : dans l’atelier du géomètre.
Résumés
Jean-Yves Briend, Desargues et le Brouillon-Project sur les coniques : dans l’atelier du géomètre. La lecture du Brouillon-Project de Girard Desargues sur les coniques (1639) nous offre l’occasion rare d’entrer dans l’atelier d’un géomètre qui révolutionna la géométrie en ses fondements mêmes. Partant d’une question pratique concernant le dessin en perspective, posée en 1636, nous verrons comment il est amené, pour y répondre, à proposer une conception radicalement nouvelle de la géométrie, où ce sont jusqu’à ses notions fondamentales qui sont bouleversées : points, droites, parallélisme. L’étrange actualité de la démarche arguésienne nous donnera l’opportunité de rappeler combien la philosophie des mathématiques gagne à s’intéresser, au-delà des grandes questions portant sur les théories achevées, au travail même des mathématiciens et mathématiciennes.
Fréderic Jaëck, Espaces et structures : pourquoi, comment et autres questions philosophiques. Je prendrai deux exemples historiques pour analyser quelques aspects essentiels dans l’utilisation des concepts d’espace et de structure en mathématiques. D’abord avec les travaux de Fréchet en topologie, puis avec ceux de Banach en analyse fonctionnelle. Je montrerai que dans les deux cas la notion d’espace est intimement liée à une façon mathématique de dompter l’infini comme pur inconditionné (das Unbedingte).
Francesca Biagioli, The Conceivability of Non-Euclidean Spaces in Nineteenth-Century Geometry. Arguments for the conceivability of non-Euclidean spaces have played a central role in the late nineteenth-century debate about the status of geometry. The thought experiments introduced by Hermann von Helmholtz and Henri Poincaré have led to the recognition of a plurality of geometries as logical possibilities, in contrast with the traditional view of the principles of geometry as paradigms of necessary truth. While such arguments have often been taken to show the conventionality of geometry, this paper draws attention to a less known development of conceivability arguments in attempts to justify geometrical practices on epistemic grounds. In particular, it will focus on how Felix Klein sought the roots of the projective treatment of figures in a process of idealization of spatial perception, which culminates in the analytic theory of the forms of space. His ideas were taken up in the philosophical debate by neo-Kantians such as Ernst Cassirer, who reconsidered the Kantian theory of space in the light of subsequent scientific developments. My suggestion is that these authors offered valuable insights into the conceptual background of modern axiomatics by addressing the conceivability of non-Euclidean spaces both at the logical and at the epistemological level.