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Journée ANR AXDEF

7 mai 2025, Campus St. Charles, Marseille

Salle de séminaire de l’I2M, Bâtiment 7, 1er étage

La notion d’espace en mathématiques

L’espace est un des sujets de réflexion les plus anciens et les plus présents dans l’histoire de la philosophie, en particulier lorsqu’elle s’intéresse au monde physique. En mathématiques cependant, le mot et la notion même semblent absents, du moins jusqu’à une époque très récente, où apparaissent de très nombreux objets portant le nom d’espace : espaces vectoriel, topologique, mesuré ou de Banach etc. De manière assez curieuse, les définitions même de ces objets semblent relever de tout sauf d’une spatialité au sens empirique du terme : on y fait appel à l’algèbre, à la théorie des ensembles on encore à l’analyse. En outre, le mot est maintenant employé dans des domaines comme la logique ou l’arithmétique où son irruption peut paraitre, de prime abord, un peu surprenante.

Point de départ d’un constat que peuvent faire tous les étudiants qui sont un tant soit peu confrontés aux mathématiques dans leur cursus, l’interrogation sur l’usage en mathématiques de mots relevant du  champ de la spatialité permet d’aborder les liens profonds qui unissent les questionnements et pratiques propres à cette discipline aux questions qui peuvent se poser par ailleurs en termes  philosophiques, physiques, métaphysiques, voire de logique, de linguistique ou de sciences  cognitives.  Aborder quelques points précis autour de la question de l’espace en mathématiques nous semble ouvrir d’intéressantes perspectives. Il est escompté que le public des conférences soit constitué autant d’enseignants ou chercheurs que d’étudiants en master ou en thèse qui trouveront là matière à réflexion sur leur discipline. 

Conférenciers invités : Francesca Biagioli, Jean-Yves Briend, Olivia Caramello, Frédéric Jaeck.

Comité d’organisation : Jean-Yves Briend et Paola Cantù

Partenaires : ANR-23-CE54-0012 « Axiomatic Definitions », Laboratoire I2M, Centre Gilles Gaston Granger, CNRS et Aix-Marseille-Université

Inscription gratuite mais obligatoire en remplissant le formulaire disponible ici. La journée sur l’espace sera également diffusée à distance. Une diffusion en ligne est prévue. Si vous souhaitez assister à distance, veuillez le préciser dans le formulaire.

Programme

Mercredi 7 mai 2025

9h00 Accueil

9h15-10h30 Olivia Caramello, La ‘notion unificatrice’ de topos

11h00-12h15 Francesca Biagioli, The Conceivability of Non-Euclidean Spaces in Nineteenth-Century Geometry

14h00-15h15 Fréderic Jaëck, Espaces et structures : pourquoi, comment et autres questions philosophiques.

15h45-17h00 Jean-Yves Briend, Desargues et le Brouillon-Project sur les coniques : dans l’atelier du géomètre.

Résumés

Jean-Yves Briend, Desargues et le Brouillon-Project sur les coniques : dans l’atelier du géomètre. La lecture du Brouillon-Project de Girard Desargues sur les coniques (1639) nous offre l’occasion rare d’entrer dans l’atelier d’un géomètre qui révolutionna la géométrie en ses fondements mêmes. Partant d’une question pratique concernant le dessin en perspective, posée en 1636, nous verrons comment il est amené, pour y répondre, à proposer une conception radicalement nouvelle de la géométrie, où ce sont jusqu’à ses notions fondamentales qui sont bouleversées : points, droites, parallélisme. L’étrange actualité de la démarche arguésienne nous donnera l’opportunité de rappeler combien la philosophie des mathématiques gagne à s’intéresser, au-delà des grandes questions portant sur les théories achevées, au travail même des mathématiciens et mathématiciennes.

Fréderic Jaëck, Espaces et structures : pourquoi, comment et autres questions philosophiques. Je prendrai deux exemples historiques pour analyser quelques aspects essentiels dans l’utilisation des concepts d’espace et de structure en mathématiques. D’abord avec les travaux de Fréchet en topologie, puis avec ceux de Banach en analyse fonctionnelle. Je montrerai que dans les deux cas la notion d’espace est intimement liée à une façon mathématique de dompter l’infini comme pur inconditionné (das Unbedingte).

Francesca Biagioli, The Conceivability of Non-Euclidean Spaces in Nineteenth-Century Geometry. Arguments for the conceivability of non-Euclidean spaces have played a central role in the late nineteenth-century debate about the status of geometry. The thought experiments introduced by Hermann von Helmholtz and Henri Poincaré have led to the recognition of a plurality of geometries as logical possibilities, in contrast with the traditional view of the principles of geometry as paradigms of necessary truth. While such arguments have often been taken to show the conventionality of geometry, this paper draws attention to a less known development of conceivability arguments in attempts to justify geometrical practices on epistemic grounds. In particular, it will focus on how Felix Klein sought the roots of the projective treatment of figures in a process of idealization of spatial perception, which culminates in the analytic theory of the forms of space. His ideas were taken up in the philosophical debate by neo-Kantians such as Ernst Cassirer, who reconsidered the Kantian theory of space in the light of subsequent scientific developments. My suggestion is that these authors offered valuable insights into the conceptual background of modern axiomatics by addressing the conceivability of non-Euclidean spaces both at the logical and at the epistemological level.

Workshop on the formalization of elementary geometry

Paris, IHPST, Monday, December 9, 2024

9:30-10:45 a.m.: Victor Pambuccian (Arizona State University), Why Euclid did not need the Pasch axiom

11:15-12:30: Julien Narboux (Université Paris Cité), Lessons learned from the formalization of the geometries of Euclid, Tarski and Hilbert

Lunch

14:00-15:15: Walter Dean (University of Warwick), On geometric consistency from the finitary standpoint

15:45-17:00: Alberto Naibo (IHPST), with Marco Panza (IHPST, Chapman University) and José Gil-Ferez (Chapman University), Reconstructing Euclid’s Book I of the Elements formally: some examples

The workshop will take place in hybrid mode. Please find the link here.

For further information, please get in touch with the organizer, Vincenzo De Risi (CNRS et SPHERE, Univ. Paris Cité)

Appel d’offre !

Doctorant en Philosophie de mathématiques (poste financé sur 3 ans) sur la thématique suivante :

« Définitions axiomatiques. Critères d’adéquation et typologies des définitions dans les théories axiomatiques des 19e et 20e siècles »

DESCRIPTION DU POSTE

Le Centre Gilles Gaston Granger (Aix-Marseille Université AMU / Centre National de la Recherche CNRS) et l’Agence Nationale de la Recherche (ANR) financent un projet de thèse intitulé « Définitions axiomatiques. Critères d’adéquation et typologies des définitions dans les théories axiomatiques des 19e et 20e siècles ». La recherche portera sur l’analyse des différents types de définitions et des différents critères d’adéquation qui sont utilisés et discutés dans les présentations axiomatiques des théories mathématiques et logiques.

Le présent projet de thèse vise à produire pour la première fois : i) une taxonomie adéquate des définitions apparaissant dans les théories axiomatiques, en tenant compte d’une variété de buts différents (stipulation, description, explication, ostension, définition lexicographique), de formes (conditionnelle, par abstraction, par opérateurs, circulaire, imprédicative…. ), de force expressive (selon la langue choisie), de règles (selon la théorie logique choisie) et de pratiques mathématiques ; ii) une enquête comparative sur les différents critères d’adéquation des définitions discutés par des philosophes tels que Gergonne, Dedekind, Frege, Pasch, Poincaré, Drobisch, Lotze, l’école de Peano, Enriques, Russell, Hilbert, les logiciens polonais (notamment Lesnieweski et Tarski), mais aussi les théoriciens des postulats aux États Unis, le Cercle de Vienne (Carnap, bien sûr, mais aussi Hans Hahn), Gödel et Weyl.

La théorie des définitions se concentre sur l’analyse de la forme logique des définitions et sur l’évaluation de leur légitimité. Les définitions sont-elles des propositions, des identités ou des relations d’équivalence ? Quelles sont leurs parties ? Existe-t-il des critères précis auxquels une définition légitime doit satisfaire ? Ces critères varient-ils en fonction du contexte d’utilisation ? Tous les types de définitions légitimes sont-ils également appropriés ? Peut-on donner des règles de formation logique pour que les définitions obtenues selon ces règles puissent être considérées comme légitimes ? La logique ne s’intéresse pas seulement à la description de la forme d’une définition, mais aussi à la détermination de critères permettant d’évaluer son adéquation, sa légitimité ou sa bonté. Différents critères ont été proposés dans l’histoire de la logique et de la philosophie, notamment i) la conservativité ou la non créativité, ii) l’éliminabilité, iii) l’usage, iv) l’éliminabilité partielle. Le critère d’éliminabilité affirme que si tous les usages du definiendum sont fixés par le definiens, on devrait pouvoir substituer ce dernier au premier dans toutes les occurrences, et donc éliminer le terme défini. Le critère de conservativité correspond à l’idée qu’une définition stipulative ne doit pas nous permettre d’établir des résultats essentiellement nouveaux. La théorie des définitions fondée sur l’éliminabilité et la conservativité est souvent désignée sous le nom de “théorie traditionnelle des définitions”. Mais quelle est l’origine historique de cette théorie ? Existe-t-il un auteur qui défende réellement de tels critères entre la fin du 19e siècle et le début du 20e siècle ?

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